|
|
 |
Ψηφιακή γεύση τού π
|
|
|
|
|
|
|
Μία από τις μεγαλύτερες ειρωνείες που συνόδευσαν την επανάσταση της πληροφορικής τεχνολογίας είναι ότι «ενώ η έννοια του ηλεκτρονικού υπολογιστή ήταν γέννημα-θρέμμα του πεδίου των καθαρών Μαθηματικών ―την ιδέα συνέλαβαν ιδιοφυείς γίγαντες της επιστήμης αυτής όπως ο John von Neumann και ο Alan Turing―, η εκπληκτική τεχνολογία που προέκυψε δεν είχε, μέχρι πρόσφατα, καμία σημαντική επίδραση στο επιστημονικό πεδίο που τη γέννησε.»
Με αυτό τον τρόπο αρχίζει το βιβλίο των Jonathan M. Borwein και David H. Bailey Experimentation in Mathematics, το οποίο κυκλοφόρησε τούτες τις μέρες στις ΗΠΑ και το οποίο τεκμηριώνει αυτή τη συντελούμενη αλλαγή. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές, τους οποίους κάποτε οι μαθηματικοί ερευνητές αντιμετώπιζαν απαξιωτικά ως απλές αριθμομηχανές, έχουν αποκτήσει τέτοια ισχύ ώστε να αποτελούν ρηξικέλευθα εργαλεία στην υπηρεσία της βασικής έρευνας επιτυγχάνοντας θεμελιώδεις ανακαλύψεις με το να διεξάγουν υπολογιστικά πειράματα και να παρατηρούν τα αποτελέσματα.
Η πρώτη σαφής ένδειξη της παρατηρούμενης μεταστροφής εμφανίστηκε το 1996. Ο Bailey, ο οποίος είναι τεχνικός διευθυντής στο National Energy Research Scientific Computing Center στο Μπέρκλεϊ της Καλιφόρνιας, καθώς και διάφοροι συνάδελφοί του, επινόησαν ένα πρόγραμμα για ηλεκτρονικό υπολογιστή ικανό να αποκαλύπτει σχέσεις ακέραιας φύσης μεταξύ μακροσκελών αλληλουχιών από πραγματικούς αριθμούς. Το επίτευγμα αυτό αποτελούσε επί μακρόν το επίμαχο ζητούμενο μεταξύ των μαθηματικών. Ο Ευκλείδης υπήρξε ο πρώτος διδάξας. Γύρω στο 300 π.Χ., εφηύρε την πρώτη διαδικασία με χρήση ακέραιων σχέσεων ―έναν τρόπο υπολογισμού του μέγιστου κοινού διαιρέτη οποιουδήποτε ζεύγους ακέραιων αριθμών. Αλλά μόλις το 1977 ανακαλύφθηκε τελικά, από τους Helaman Ferguson και Rodney W. Forcade, μια μέθοδος για να αποκαλύπτει σχέσεις που συνδέουν ένα αυθαίρετα μεγάλο σύνολο αριθμών. Το 1995, η ομάδα του Bailey, βασιζόμενη σε αυτή τη μέθοδο, διέθεσε την πλήρη ισχύ των ηλεκτρονικών της υπολογιστών αποκλειστικά στη μελέτη θεμελιωδών μαθηματικών σταθερών, όπως είναι ο ln 2 και ο αριθμός π.
Προς μεγάλη έκπληξη των ερευνητών, προέκυψαν, μετά από πολλούς μήνες υπολογισμών, νέοι τύποι για τις εν λόγω φυσικές σταθερές αλλά και για διάφορες άλλες. Και οι νέοι αυτοί τύποι κατέστησαν δυνατό τον υπολογισμό οποιουδήποτε ψηφίου τού π ή του ln 2 χωρίς να απαιτείται η γνώση κανενός από τα προηγούμενα ψηφία, γεγονός το οποίο αποτελεί πραγματικό άθλο, αφού κάτι τέτοιο για χιλιετίες θεωρούνταν ακατόρθωτο.
Ο αλγόριθμος αυτός δεν έχει σχεδόν καμία πρακτική εφαρμογή. Μια ιαπωνική ομάδα τον χρησιμοποίησε για να ελέγξει στα γρήγορα έναν πολύ πιο αργό υπολογισμό μέσω υπερυπολογιστών των πρώτων 1,2 τρισεκατομμυρίων (1012) ψηφίων τού αριθμού π (ολοκληρώθηκε τον περασμένο Δεκέμβριο). Μια ερασιτεχνική ομάδα συσταθείσα εκ των ενόντων ενσωμάτωσε τον εν λόγω αλγόριθμο σε ένα ευρέως διαδεδομένο πρόγραμμα και κατάφερε να υπολογίσει το τετράκις εκατομμυριοστό από τα άπειρα ψηφία τού π. Οι μαθηματικοί, έκθαμβοι από την ανακάλυψη, άρχισαν πια να εξετάζουν πολύ σοβαρά με ποιον άλλο τρόπο θα μπορούσε ο πειραματισμός με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές να τους φανεί χρήσιμος.
Πρόσφατα, για παράδειγμα, οι λεγόμενοι εμπειριστές μαθηματικοί (θιασώτες του πειραματισμού μέσω υπολογιστή) προχώρησαν ένα βήμα παραπέρα· αποπειρώνται να διαλευκάνουν ένα βαθύτερο μυστήριο αναφορικά με τον αριθμό π ―θέλουν να δώσουν απάντηση στο ερώτημα αν είναι τελικά ο π κανονικός αριθμός ή όχι. Η σταθερά π είναι κανονική κατά τη συμβατική έννοια, αφού ανήκει σε μια κοινή κλάση. Ο π είναι υπερβατικός αριθμός ―δηλαδή τα δεκαδικά του ψηφία εκτείνονται επ’ άπειρον, και είναι αδύνατο να εκφραστεί ως κλάσμα ακεραίων (όπως, για παράδειγμα, ως 355/113) ή ως λύση μιας αλγεβρικής εξίσωσης (όπως η x2 - 2 = 0). Στο σύμπαν που συγκροτούν οι πραγματικοί αριθμοί, οι υπερβατικοί αποτελούν την πλειονότητα. Με αυτή λοιπόν την έννοια, ο π είναι κανονικός.
Για τους μαθηματικούς, όμως, η έννοια της «κανονικότητας» που αναζητούν για τον αριθμό π είναι διαφορετική. Συγκεκριμένα, αναζητούν κατά πόσο η άπειρη αλληλουχία δεκαδικών ψηφίων του οικείου σε μας αναπτύγματος 3,14159… είναι πραγματικά τυχαία, υπό την έννοια ότι, ας πούμε, το ψηφίο 1 πρέπει να έχει συχνότητα εμφάνισης 1/10, τα ψηφία 23 συχνότητα 1/100, κ.ο.κ. Με άλλα λόγια, κανένα υποσύνολο της αλληλουχίας των άπειρων ψηφίων δεν πρέπει να εμφανίζεται συχνότερα από οποιοδήποτε άλλο, είτε ο αριθμός π εκφράζεται στο δεκαδικό είτε στο δυαδικό είτε σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αρίθμησης.
Εμπειρικά, αυτό φαίνεται να ισχύει σχεδόν για όλους τους υπερβατικούς αριθμούς, όχι μόνο για το π. «Παρ’ όλα αυτά, δεν καταφέραμε να αποδείξουμε την κανονικότητα καμίας φυσικής σταθεράς» δηλώνει με θλίψη ο Borwein, ο οποίος διευθύνει το Κέντρο Πειραματικών και Κατασκευαστικών Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Simon Fraser στη Βρετανική Κολομβία του Καναδά.
«Φαίνεται πως αυτός ο τύπος για τον υπολογισμό του αριθμού π που ανακαλύφθηκε με τη βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών ίσως αποτελέσει το κλειδί για τη λύση του εν λόγω ζητήματος» αναφέρει ο Bailey, ο οποίος σε συνεργασία με τον Richard E. Crandall του Κολεγίου Reed έδειξε ότι ο συγκεκριμένος αλγόριθμος συνδέει το πρόβλημα της κανονικότητας με άλλες πιο βατές περιοχές των μαθηματικών, όπως τη θεωρία του χάους και τη θεωρία των ψευδοτυχαίων αριθμών. Αν καταφέρουμε να επιλύσουμε αυτά τα ευκολότερα αλλά και αλληλένδετα προβλήματα, τότε θα μπορέσουμε να αποδείξουμε πως ο π είναι κανονικός αριθμός. Και όπως προβλέπει ο Borwein, «μια τέτοια εξέλιξη θα άνοιγε διάπλατα το δρόμο για την επίλυση πληθώρας προβλημάτων των οποίων τη διαλεύκανση επιζητούν διακαώς οι ερευνητές εδώ και αιώνες».
|
|
|
|
|
|
